Solveurs implicites avec co-résolution du pas de temps et démarrage à chaud pour les problèmes d'évolution en géosciences

La discrétisation numérique des modèles physiques représentant les problèmes d'évolution dans de nombreux domaines conduit à des systèmes algébriques non linéaires de très grandes dimensions. La résolution de ces systèmes, qui doit être effectuée à chaque pas de temps de manière robuste et rapide en vue d'une plus grande efficacité des logiciels, se heurte à plusieurs obstacles. Dans cette thèse, nous nous proposons d'en examiner deux des plus notables, pour lesquels nous disposons de pistes de solution.
Le premier obstacle concerne le pas de temps. Dans un schéma implicite, un grand pas de temps permet d'aller plus vite au prix d'une plus forte raideur du système et donc d'une plus grande difficulté à converger. A contrario, un petit pas de temps facilite la résolution du système au détriment du nombre de pas de temps à accomplir et donc du coût global. À ce jour, il n'y a aucune stratégie idéale pour la gestion du pas de temps. Pour certaines EDO où l'on peut élaborer des estimateurs d'erreur, il y a des techniques d'adaptativité qui ont fait leur preuve. Néanmoins, pour les EDP, on doit se contenter d'heuristiques pour ajuster le pas de temps au cours de la simulation. Ces dernières années est apparue une nouvelle voie inspirée des méthodes de continuation, où le pas de temps devient une inconnue à part entière. L'ensemble des inconnues est mis à jour simultanément par une méthode itérative, d'où le vocable de co-résolution. L'avantage est de pouvoir récupérer n'importe quel itéré intermédiaire comme solution de secours en cas de non-convergence. L'inconvénient est toutefois de savoir prescrire correctement l'équation supplémentaire. C'est là que nous cherchons à aller plus loin que l'état actuel de l'art.
Le second obstacle porte sur le point initial pour le solveur. Bien que la valeur des inconnues au pas de temps précédent constitue un choix naturel, il arrive parfois que cela ne soit pas judicieux. Lorsque certaines équations sont des relations de complémentarité et que le système est résolu par une méthode de point intérieur, il est indispensable de partir d'un point strictement intérieur et le choix de l'état précédent, qui se trouve sur le bord du domaine admissible, s'avère préjudiciable. Pour y remédier, nous préconisons de transposer les idées de démarrage à chaud, connues en programmation linéaire, au cadre non linéaire avec co-résolution du pas de temps.

Mots-clefs: méthode de Newton, méthode de continuation, optimisation sous contraintes

• Directeur de thèse    Prof. Mounir HADDOU, INSA Rennes
• Ecole doctorale    ED 601 MATISSE, Université de Rennes
• Encadrant IFPEN    Dr Ibtihel BEN GHARBIA, ORCID : 0000-0002-9002-1985
• Localisation du doctorant    IFPEN Rueil-Malmaison, France & INSA Rennes, France
• Durée et date de début    3 ans, début au cours du quatrième trimestre 2024 (4 novembre)
• Employeur    INSA Rennes
• Qualifications    Master en Analyse Numérique ou Calcul Scientifique
• Connaissances linguistiques    Anglais niveau B2 (CECR)
• Autres qualifications    Programmation en C++ et Python

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