Préconditionneurs hiérarchiques pour les problèmes de convection-diffusion

La simulation numérique est un outil stratégique puisqu'indispensable à la recherche et à de nombreuses applications industrielles qui requièrent la résolution d'écoulements multiphasiques. Pour mener à bien ces simulations numériques, de nombreux défis doivent être relevés en termes de formulation mathématique et d'analyse numérique, liés aux couplages des transferts thermiques par conduction, convection et des déformations mécaniques du milieu poreux. Au vu de ces complexités, la précision des simulations permettant d'obtenir de meilleures prédictions dépend en partie de l'efficacité des algorithmes numériques. Pour atteindre cette précision et permettre des simulations en des temps réalistes, il est crucial de disposer de solveurs linéaires efficaces, robustes et peu consommateurs en temps CPU. Depuis une dizaine d'années, de nouvelles méthodes de résolution dites méthodes H-matrices ont émergé pour permettre de réduire le cout algorithmique des opérations algébriques élémentaires appliquées à des matrices denses (par exemple : produit matrice-vecteur, inversion, factorisation LU).
L’objectif de cette thèse sera la mise au point d'un préconditionneur efficace en s’appuyant sur la méthode des H-matrices (caractérisée par une représentation hiérarchique des matrices) couplée aux techniques de compression de matrices, afin de permettre d’exploiter efficacement l’ensemble des zéros des matrices creuses dérivant de nos applications tout en préservant une structure hiérarchique globale. L'objet de cette thèse sera aussi d'explorer la pertinence des techniques de compression initialement introduites pour les problèmes purement elliptiques, aux problèmes de convection-diffusion dans un régime convection dominante où les systèmes linéaires engendrés sont creux.

Mots-clés : Préconditionement, matrices hiérarchiques, convection-diffusion, factorisation LU