Méthodes de préconditionnement non linéaire avancées pour la résolution des problèmes à fortes hétérogénéités en géosciences

En simulation numérique, la discrétisation des modèles physiques constitués d'équations aux dérivées partielles donne souvent lieu à des systèmes algébriques non linéaires. La résolution de ceux-ci n’est en général pas aisée, en raison du grand nombre d’inconnues et surtout de leur caractère non linéaire. Traditionnellement, elle s’effectue à l’aide de la méthode de Newton, qui linéarise le problème autour de l'itéré courant. De ce fait, la méthode de Newton exhibe souvent des problèmes de convergence, notamment quand le point initial est loin de la vraie solution ou lorsque le système contient de fortes raideurs.
Alors que les méthodes de résolution de systèmes linéaires et leur préconditionnement sont relativement bien établies, la recherche des techniques non linéaires plus robustes et rapides est toujours en cours. Depuis une vingtaine d'années, plusieurs auteurs préconisent de transposer aux problèmes non linéaires les méthodes de préconditionnement des systèmes linéaires, comme la décomposition de domaine. Il s'avère qu'en plus du gain en temps de calcul, cette approche permet aussi de s'affranchir du caractère local de la méthode de Newton. Au vu de publications récentes indiquant un fort potentiel de cette approche pour certains modèles d’écoulement et de transport en milieux poreux, il est indispensable d’examiner la pertinence de ces méthodes sur des modèles de géoscience plus réalistes comme ceux d’IFPEN.
Dans ce travail, nous avons choisi d'étudier la méthode RASPEN (Restricted Additive Schwarz with Exact Newton) et les techniques de Schur non linéaires réputées pour leur simplicité et leur efficacité. Nous nous concentrons d'abord sur les versions à un niveau dans le but de mieux appréhender la localisation des calculs dans les régions critiques au voisinage des interfaces et la construction automatique de celles-ci. Ensuite, nous nous intéressons à la recherche d’une meilleure scalabilité parallèle en étudiant les versions à deux niveaux de ces méthodes. Les aspects d'implémentation sur architectures de calcul modernes seront aussi abordés.

Mots-clefs: systèmes algébriques non linéaires, méthode de Newton, préconditionnement, décomposition de domaines, complément de Schur, calcul parallèle, écoulements en milieu poreux

• Directeur de thèse    BRENNER Konstantin (PhD), INRIA Sophia-Antipolis Méditerranée
• École doctorale    ED SFA 364, http://www.ecoles-doctorales-aerospatiales.fr/fr/ecoles/37.htm
• Encadrant IFPEN    TRAN Quang Huy (HDR), département Mathématiques Appliquées, quang-huy.tran@ifpen.fr, ORCID : 0000-0001-7771-3154
• Localisation du doctorant    IFPEN (Rueil-Malmaison) et Laboratoire Jean Dieudonné (Nice)
• Durée et date de début    3 ans, début en novembre 2023
• Employeur    IFPEN (Rueil-Malmaison)
• Qualifications    Master en Analyse numérique, Calcul scientifique
• Connaissances linguistiques    Bonne maîtrise de l’anglais indispensable, français souhaitable
• Autres qualifications    Matlab, Scilab, Python, C++