Choix automatique des paramètres des méthodes multigrilles en utilisant les méthodes IA pour la résolution de systèmes linéaires

Les méthodes multigrilles font partie des solveurs et des préconditionneurs efficaces et puissants pour la résolution de grands systèmes linéaires mal conditionnés. Cependant, le paramétrage optimal de ces méthodes ; tels que l'algorithme de smoother, les schémas de correction, le choix des opérateurs de restriction dépend du problème à traiter et oriente fortement l’efficacité numérique de cette famille de méthodes. De plus, il existe plusieurs algorithmes multigrilles, comprenant différents algorithmes de smoother tels que Jacobi et Gauss-Seidel, différents schémas de correction tels que V-Cycle, W-Cycle et différents opérateurs de prolongation/restriction. Le choix des différents algorithmes et le réglage fin de ces paramètres améliore le taux de convergence de cette famille de méthode et influence le temps de calcul sur l'architecture cible type CPU, GPU ou TPU. L’expertise de l’utilisateur dans la sélection des paramètres est critique pour une utilisation optimale de ces méthodes.
En partant de ce constat, l’objectif du travail de recherche proposé est de concevoir et d’utiliser des techniques d’apprentissage afin de trouver pour la méthode multigrilles algébrique de meilleures paramétrage à la fois pour les problèmes linéaires et non linéaires à 2-3 dimensions. Les études ciblées seront issues de deux grandes catégories de simulations : la dynamique des fluides et l'écoulement en milieu poreux. Parmi les applications sélectionnées, nous pouvons évoquer les modélisations fluide-particules, géomécanique, et séquestration du CO2, avec chacune des systèmes différents à résoudre.

Mots-clés : Apprentissage profond guidé par la physique, GNN, Algèbre linéaire parallèle, méthode multigrilles, écoulement en milieu poreux