Accélération des méthodes de type Newton pour les systèmes non linéaires par le pré-aplatissement

La discrétisation numérique des modèles physiques dans de nombreux domaines conduit à des systèmes algébriques non linéaires de très grandes dimensions. La résolution de ces systèmes, qui se fait habituellement par des linéarisations successives à l'instar de la méthode de Newton, doit être rapide en vue d'une plus grande efficacité des logiciels. Or, l'un des obstacles à cette rapidité est la non-linéarité plus ou moins forte du système considéré. En effet, il est connu que lorsque le système est linéaire, la méthode de Newton converge en une seule itération (du moins en artihmétique exacte). Les meilleurs résultats théoriques disponibles à ce jour pour Newton montrent que sa vitesse de convergence dépend de deux constantes spécifiques au problème, l'une d'entre elles s'apparentant à une mesure de non-linéarité locale.
Depuis une vingtaine d'années, des techniques de préconditionnement ont été introduites dans le but d'accélérer la résolution des systèmes non linéaires. Elles consistent à résoudre un système équivalent judicieusement construit par analogie avec le cas linéaire. Toutefois, contrairement au cas linéaire, on ne peut pas garantir que le nouveau système sera plus propice à la résolution par Newton que celui de départ, même si cela est en général attesté par les expériences numériques. La raison en est que dans le cas linéaire, c'est le conditionnement de la matrice qui régit la vitesse de convergence du solveur linéaire et l'on peut s'assurer que le nouveau conditionnement sera plus favorable. Dans le cas non linéaire, ce n'est plus le cas. On ne sait pas exactement quelle quantité scalaire a diminué entre l'ancien système et le nouveau. Ainsi, même si le préconditionnement non linéaire fonctionne, son fondement demeure heuristique.
Partant de ce constat, nous proposons d'explorer des transformations du système de départ en un système équivalent qui soit "moins non linéaire" dans un sens quantitatif à préciser en rapport avec la vitesse de convergence de Newton. Pour distinguer cette démarche (qui n'agit que sur le niveau non linéaire externe), du préconditionnement non linéaire classique (qui agit simultanément sur les deux niveaux linéaire et non linéaire), nous introduisons le vocable de pré-aplatissement. La clarté conceptuelle apportée par la séparation des deux niveaux d'itérations permet alors d'envisager des pistes de travail ciblées et pertinentes.
Mots-clefs : systèmes non linéaires, méthode de Newton, vitesse de convergence, conditionnement, préconditionnement, mesure de non-linéarité, pré-aplatissement, transport réactif, milieu poreux

• Directeur de thèse    Dr/HDR Quang Huy TRAN, IFPEN, ORCID : 0000-0001-7771-3154
• Ecole doctorale    ED 580 STIC, Université Paris-Saclay
• Encadrant IFPEN    Dr Ibtihel BEN GHARBIA, ORCID : 0000-0002-9002-1985
• Localisation du doctorant    IFPEN, Rueil-Malmaison, France  
• Durée et date de début    3 ans, début au cours du quatrième trimestre de 2024 (4 novembre)
• Employeur    IFPEN
• Qualifications    Master en Analyse Numérique ou Calcul Scientifique
• Connaissances linguistique    Anglais niveau B2 (CECR)
• Autres qualifications    Programmation en C++ et Python.

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